Numerické metody - cvičení

Cvičící: Vojtěch Horný, Katedra fyzikální elektroniky FJFI ČVUT v Praze, Ústav fyziky plazmatu AV ČR, v. v. i.

E-mail: horny [zavináč] pals.cas.cz

Termín a učebna: středy počínaje 22. únorem 2017

• skupina 1: v 7:30 v T105
• skupina 2: ve 11:30 v T115

Statistika z minulých let

V roce 2014 získalo zápočet celkem 35 studentů z 51, odpovídá to 69%.

• skupina 1: zápočet udělen 11 z 15 studentů, tj. 73 %
• skupina 2: zápočet udělen 13 z 20 studentů, tj. 65 %
• skupina 3: zápočet udělen 11 z 16 studentů, tj. 69 %

V roce 2015 jsem udělil zápočet 11 studentům z 15, úspěšnost byla 73%.

Pravidla pro udělování zápočtů

• účast na cvičení je povinná, možné 3 absence
• ke konci semestru se zadávají zápočtové úlohy
  • příklady odevzdat co nejdříve, v září nepříjímám žádnou schůzku, během července a srpna je nutno počítat s pomalejší odezvou
• úlohy můžete programovat v libovolném jazyce, tzn. i v Matlabu. Veškeré algoritmy musí být ovšem implementovány numericky, nikoli symbolicky.
• pro získání zápočtu musíte ukázat, že rozumíte tomu, co jste odevzdali.
• k e-mailu, kterým se domlouváte na schůzce k udělení zápočtu, přiložte i zápočtový program.

Postup odevzdání zápočtových úloh

• Úlohu mi nejprve zašlete. Můžete navrhnout termín konzultace spojené s případným zapsáním zápočtu.
• K úloze se vyjádřím a případně potvrdím nebo navrhnu termín konzultace.
• Student dojede ve sjednaném termínu ke sjednané konzultaci do mé pracovny na Ústavu fyziky plazmatu AV ČR na Ládví.
  • pracovna se nachází v hlavní budově Ústavu fyziky plazmatu AV ČR, v.v.i., místnost A 214
  • za vchodem do budovy se student nahlásí vrátnému, ten mne přivolá
• Zde mne student přesvědčí, že zadané metodě a vlastní implementaci řešení rozumí.

Zdroje

• PDF soubory na webu nejsou skripta. Slouží pouze k usnadnění dělání si poznámek na přednáškách.
• Primárním zdrojem je přednáška a doporučená literatura (např. Numerical Recipes).
• Pozor na spolehlivost externích zdrojů, především na internetu (Wikipedia, Numerical methods guy). Někdy objasní, jindy spíš zatemní.
• Účelem není naučit se zpaměti odříkat něco nastudovaného z dokonalého PDFka, ale snažit se pochopit podstatu a souvislosti během přednášky. Je to zároveň příprava na účast na vědeckých konferencích.
• Návod, jak si spustit Matlab z domova.
• Centrální uložiště příkladů probíraných na cvičeních.

Náplně jednotlivých cvičení

24.2.2016 - Úvod do Matlabu. Úvod do numerických metod. Reprezentace čísel v počítači. Strojové epsilon. Nejmenší kladné číslo.

• materiály ze stránek Jana Pšikala

• kvalitní, stručný a rázný úvod do Matlabu - všichni si to doma projděte!
• interaktivní online kurz z webu MathWorks.
• další užitečné příkazy použité na cvičení:
  • zeros(3,4); ones(2,5); eye(10); - nulová, jedničková a jednotková matice s rozměry jako argumenty
  • L = tril(A,-1); U = triu(A,1); D = A - L - U; - dolní trojúhelníková, horní trojúhelniková a diagonální část matice A, vhodné např. pro Jacobiho metodu
  • [x, pivot] = rref([A b]) - Gaußova-Jordanova eliminace pro matici soustavy A a pravou stranu b
  • [L, U, P] = lu(A) - LU-dekompozice matice A, vrací dolní trojúhelníkovou matici L, horní trojúhelníkovou matici U a permutační matici P, přičemž platí L*U = P*A

• skripty ze cvičení

1.3.2017 - Volba metody. Nestabilita. Chyba metody. Problémy lineární algebry. Násobení matic.

• materiály ze cvičení.
• demonstrace k LU dekompozici

8.3.2017 - Gaußova-Jordanova eliminace. LU dekompozice. Soustavy s tridiagonální maticí.

• materiály ze cvičení.

15.3.2017 - Iterační metody pro řešení systému lineáních rovnic. Částečný problém vlastních čísel. Van der Mondova matice.

• skripty zde

• princip iteračních metod: soustavu
\[\mathbb{A}\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} \] řešíme pomocí iteračního vztahu \[\overrightarrow{x}^{(k+1)} = \mathbb{B} \overrightarrow{x}^{(k)} + \overrightarrow{c} \]
• tabulka vlastností iteračních metod

metoda	matice B	vektor c
prostá iterace	I - A	b
Jakobiho iterace	-inv(D)*(L + U)	inv(D)*b
Gaußova-Seidlova iterace	inv(D + L)*U	inv(D + L)*b

22.3.2017 - Lagrangeův interpolační polynom. Kubický spline. Aproximace derivace. Čebyševovy polynomy.

• materiály ze cvičení.

29.3.2017 - Aproximace funkce využitím Čebyševových funkcí. Fitování funkce (ukázka). Metoda nejmenších čtverců. Třídící algoritmy.

• materiály ze cvičení.
• fitování funkce, vhodné třeba do praktik.

5.4.2017 - Řešení nelineárních rovnic - metoda půlení intervalů, metoda sečen, metoda regula falsi, metoda tečen. .

• materiály ze cvičení.

12.4.2017 -Řešení systému nelineárních rovnic - metoda prosté iterace, Newtonova-Ralphsova metoda. Hledání extrému funkce. Metoda zlatého řezu. Parabolická interpolace.

• materiály ze cvičení.

19.4.2017 - Extrém ve více proměnných. Demonstrace simplexové metody. Numerická integrace. Klasické kvadraturní vzorce. Rombergova integrace, vícerozměrná integrace, integrace metodou Monte Carlo

• materiály ze cvičení.
• najděte simplexovou metodou maximum i minimum
• \[f(x,y) = 2x^3 + 9xy^2 +15x^2 +27y^2 \]
• \[g(x,y) = x^2 +2*xy +3y^2 +5x +2y \]
• \[h(x,y) = \exp\left(\frac{x}{2}\left(x^2+y^2\right)\right) \]

Kdo objeví chybu či překlep, nechť mi ji nahlásí e-mailem. Děkuji.